Square Roots — Defining the Inverse of Squaring
A square has area — what is the length of its side?
넓이가 $9$인 정사각형의 한 변의 길이는? — $3$. 왜냐하면 $3 \times 3 = 9$이기 때문입니다. 이때 $3$을 $9$의 제곱근(square root)이라 합니다.
일반적으로, 어떤 수 $x$를 제곱했을 때 $a$가 되면 ($x^2 = a$), $x$를 $a$의 제곱근이라 정의합니다. 양수 $a$에 대해서는 — 놀랍게도 — 제곱근이 두 개 존재합니다. 양의 제곱근 $+\sqrt{a}$와 음의 제곱근 $-\sqrt{a}$. 예: $9$의 제곱근은 $3$과 $-3$.
그리고 기호 $\sqrt{\phantom{a}}$ ("루트", radical sign)는 그 중에서도 양의 제곱근을 나타냅니다. 즉 $\sqrt{9} = 3$ (음수가 아닌 쪽만!).
An exact statement of what $\sqrt{a}$ means.
어떤 수 $x$를 제곱하여 $a$가 될 때, 즉 $x^2 = a$일 때, $x$를 $a$의 제곱근이라 한다.
양수 $a$에 대해 제곱근은 두 개가 존재합니다 — 양수 하나와 음수 하나. 우리는 그 중 양의 제곱근을 $\sqrt{a}$로, 음의 제곱근을 $-\sqrt{a}$로 나타냅니다.
예시: $9$의 제곱근은 $3$과 $-3$ — 즉 $\pm\sqrt{9} = \pm 3$. 단순히 $\sqrt{9}$만 쓰면 양의 제곱근 $3$만을 의미.
Three properties that follow directly from the definition.
$(\sqrt{5})^2 = 5$ · $\sqrt{4^2} = 4$ · $\sqrt{(-4)^2} = |-4| = 4$ · $-\sqrt{16} = -4$ · $\sqrt{0} = 0$ · $\sqrt{0.25} = 0.5$
Three cases for the number of square roots.
주의: 실수 범위에서 음수의 제곱근은 존재하지 않습니다. ($\sqrt{-4}$는 중3 수준에서는 정의되지 않음 — 고등학교에서 허수 $i$를 배우면서 등장.)
Slide the area — see the side length follow as $\sqrt{a}$.
Quick checks on square roots.
Applying the definition and properties.
제곱하여 $25$가 되는 수 — $x^2 = 25$를 풀면 $x = 5$ 또는 $x = -5$.
$\sqrt{\phantom{a}}$ 기호는 양의 제곱근만 의미. 따라서 $\sqrt{25} = 5$.
"$25$의 제곱근"은 $5$와 $-5$ 둘 다. "$\sqrt{25}$"는 $5$ 하나만.
성질 1 — $(\sqrt{a})^2 = a$. 따라서 $(\sqrt{7})^2 = 7$.
성질 2 — $\sqrt{a^2} = |a|$. $\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3$.
$\sqrt{49} = 7$. 음의 부호 → $-7$.
$0.9^2 = 0.81$이고 $0.9 > 0$. 따라서 $\sqrt{0.81} = 0.9$.
★ basic · ★★ standard · ★★★ challenge.
제곱근은 제곱의 역연산 — "$x^2 = a$가 되는 $x$". 양수 $a$에 대해 제곱근은 두 개($\pm\sqrt{a}$), $0$은 하나, 음수는 실수에서 없음. 가장 자주 틀리는 부분은 $\sqrt{a^2} = |a|$ — 부호와 관계없이 절댓값.